Tìm số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0\), biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 2n = 10\).

Lời giải

Ta có \(A_n^2 - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 5\).

Với \(n = 5\), ta có khai triển

\({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^5} = {\left( {3{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{2}{x}} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^4} + {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^5}\)

\( = 243{x^{10}} - 810{x^7} + 1080{x^4} - 720x + \frac{{240}}{{{x^2}}} - \frac{{32}}{{{x^5}}}\).

Vậy số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là \(1080{x^4}\).