Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).
Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 7 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Lời giải
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).
Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = 6\overrightarrow {MI} \).
Do \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.
Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).
Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T = - 6\).
Trả lời: −6.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Lời giải
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).
Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).
Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).
Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).
Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b = - 4\).
Trả lời: −4.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Theo đề ta có \({F_1}{F_2} = 2c = 50 \Rightarrow c = 25\) và \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 100 \Rightarrow a = 50\).
Lại có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {50^2} - {25^2} = 1875\).
Vậy elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1875}} = 1\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập