Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol. Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\;{\rm{cm}}\) và chiều sâu \(h = 30\;{\rm{cm}}\)(\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\).

Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).

\(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x =  - 7;y =  - 1\). Vậy \(x + y =  - 8\).

Trả lời: −8.

Lời giải

Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC}  = \left( { - m;1 - n} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {MI}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).

\(P = a + 2b = 4\).

Trả lời: 4.