Một tổ gồm 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho trong đó luôn có bạn nam và nữ?

\({\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \cdot \left( {\frac{3}{4}x} \right) + 6 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^4}\)

\( = \frac{1}{{256}} + \frac{3}{{64}}x + \frac{{27}}{{128}}{x^2} + \frac{{27}}{{64}}{x^3} + \frac{{81}}{{256}}{x^4}\).

Hệ số lớn nhất trong khai triển là \(\frac{{27}}{{64}}\). Chọn D.

a) Số cách chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp 1 là 6 cách.

b) Số cách chọn ngẫu nhiên hai viên bi khác màu từ hộp 1 là \(1 \cdot 5 = 5\) cách.

c) TH1: Chọn 2 viên bi cùng màu xanh có \(C_3^2 = 3\) cách.

TH2: Chọn 2 viên bi cùng màu đỏ có \(C_5^2 = 10\) cách.

Vậy có \(3 + 10 = 13\) cách.

d) TH1: Lấy 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ từ hộp 1 chuyển sang hộp 2. Khi đó hộp 2 có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ.

Số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ hộp 2 là \(C_4^2 + C_6^2 = 21\) cách.

TH2: Lấy 2 viên bi đỏ từ hộp 1 chuyển sang hộp 2. Khi đó hộp 2 có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ.

Số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ hộp 2 là \(C_3^2 + C_7^2 = 24\) cách.

Vậy có tất cả \(21 + 24 = 45\) cách chọn.

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;     c) Sai;     d) Đúng.