Cho tam giác \[MNP,\] trên \[MN\] lấy hai điểm \[D,{\rm{ }}E\] sao cho \[MD = DE = EN.\] Gọi \[I\] là trung điểm \[NP,{\rm{ }}PD\] cắt \[MI\] tại \[H.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC},\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác), suy ra \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB + AC}}{{DB + DC}} = \frac{{AB + AC}}{{BC}} = \frac{{6 + 9}}{{10}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}.\)

Suy ra \(DB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4{\rm{\;cm}},\,\,DC = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6{\rm{\;cm}}.\)

b) Từ \(AE = \frac{1}{3}AB\) suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)

Từ \(AC = 3AF\) suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{3}.\)

Do đó \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{3}.\)

Theo định lí Thalès đảo ta có \(EF\,{\rm{//}}\,BC.\)

c) i) Xét \(\Delta FBC\) có \(IA\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{FI}}{{FB}} = \frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{IA}}{{BC}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta EBC\) có \(AK\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{AK}}{{BC}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(EF\,{\rm{//}}\,BC\) (câu b) theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}},\) suy ra \(\frac{{AE}}{{AE + AB}} = \frac{{AF}}{{AF + AC}},\) hay \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AF}}{{FC}}.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{IA}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{BC}},\) do đó \(AI = AK,\) hay \(A\) là trung điểm của \(IK.\)

ii) Xét \(\Delta EBC\) có \(AK\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{CK}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CF}}.\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1) và (4) ta có \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = \frac{{AF}}{{FC}} + \frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{FC}}{{FC}} = 1.\)

Vậy \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = 1.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}.\)

Ta có: \({S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}AH \cdot DB;\,\,{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}AH \cdot DC.\)