Trên bảng có viết các số \[1;\,2;\,3;\,...;\,2024\] gồm \[2024\] số nguyên dương đầu tiên. Người ta thực hiện liên tiếp thao tác sau: mỗi lần chọn tùy ý hai số \[x,\,y\] ở trên bảng sao cho \[x \ge y + 2\] rồi xóa hai số này đi và thay bởi hai số \[x - 1;\,y + 1.\] Nếu từ các số trên bảng mà không thể thực hiện được thao tác như trên, ta gọi đó là trạng thái dừng. Gọi \[S\] là số thao tác thực hiện để đạt trạng thái dừng. Giá trị nhỏ nhất của \[S\] là:

Ở trạng thái dừng, các số trên bảng hơn kém nhau không quá \[1\] đơn vị. Giả sử lúc đó có \[k\] số \[n + 1\] và \[2024 - k\] số \[n\] với \[0 \le k < 2024.\]

Do tính bất biến của tổng các số trên bảng nên ta được :

\[k\left( {n + 1} \right) + \left( {2024 - k} \right)n = 1 + 2 + ... + 2024 = \frac{{2024 \cdot 2025}}{2} = 1012 \cdot 2025.\]

\[ \Rightarrow k + 2024n = 2025 \cdot 1012 \Rightarrow 2024\left( {1012 - n} \right) = k - 1012\].

Dễ thấy \[\left| {k - 1012} \right| < 2024 \Rightarrow 1012 - n = 0 \Rightarrow k = n = 1012.\]

Như vậy trạng thái dừng bao gồm \[1012\] số \[1012\] và \[1012\] số \[1013.\]

Để đạt trạng thái dừng thì số \[1\] phải chịu “tác động” ít nhất \[1011\] lần (để đến được số \[1012\]), tương tự số \[2\] chịu “tác động” ít nhất \[1010\] lần, ..., số \[1011\] chịu “tác động” ít nhất \[1\] lần, số \[1014\] chịu “tác động” ít nhất \[1\] lần (để đến được số \[1013\]), ..., số \[2024\]chịu “tác động” ít nhất \[1011\] lần.

Do đó số sự “tác động” ít nhất là \[2\left( {1 + 2 + ... + 1011} \right) = 1012 \cdot 1011.\]

Tuy nhiên mỗi bước thực hiện thao tác thì “tác động” vào hai số. Do đó số thao tác thực hiện ít nhất là \[\frac{{1011 \cdot 1012}}{2} = 506 \cdot 1011 \Rightarrow S \ge 506 \cdot 1011.\]

Ta chỉ ra một cách thực hiện thao tác mà \[S = 505 \cdot 1011\] như sau:

Chọn hai số \[\left( {1;2024} \right)\] và thực hiện liên tiếp \[1011\] bước để đưa đến bộ \[\left( {1012;1013} \right).\]

Chọn hai số \[\left( {2;2023} \right)\] và thực hiện liên tiếp \[1010\] bước để đưa đến bộ \[\left( {1012;1013} \right).\]

...

Chọn hai số \[\left( {1011;1014} \right)\] và thực hiện \[1\] bước để đưa đến bộ \[\left( {1012;1013} \right).\]

Khi đó số thao tác thực hiện là \[S = 1 + 2 + ... + 1011 = 506 \cdot 1011.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[S\] là \[506 \cdot 1011 = 511566\]. Chọn A.