Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;3; - 1)\) và \(\vec v = (1;3;2)\). Độ dài         của vectơ \(\vec w = 2\vec u - 3\vec v\) là            

Ta trải phẳng 3 mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\), \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {CBB'C'} \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Khi đó muốn nối dây điện từ bảng điểu khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên ngắn nhất thì độ dài của \(M{D_1} + M{D_2}\) ngắn nhất như hình vẽ bên dưới.

Theo các thông số đề bài cho ta có thể mô hình hóa bài toán bằng hình vẽ sau

Đáp án: 0,83.

Gọi hàm số biểu diễn quỹ đạo chuyển động của thuyền là \(y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).
Theo đề bài, cung đường \(AB\) là một phần của đồ thị hàm số này.
Điểm \(B( - 1;0)\) nằm trên đồ thị, nên: \(0 = \frac{{a( - 1) + b}}{{c( - 1) + d}} \Leftrightarrow  - a + b = 0 \Leftrightarrow b = a\quad (1)\)
Điểm \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\) nằm trên đồ thị, nên: \(\frac{5}{3} = \frac{{a(4) + b}}{{c(4) + d}}\quad (2)\)
Từ \((1)\), thay \(b = a\) vào \((2)\):\(\frac{5}{3} = \frac{{4a + a}}{{4c + d}} = \frac{{5a}}{{4c + d}}\)\( \Leftrightarrow 5(4c + d) = 15a\)\( \Leftrightarrow 4c + d = 3a\quad (3)\)
Quan sát đồ thị, ta thấy đường cong đi qua điểm \((0;1)\) (điểm giao với trục \(Oy\)). Giả sử điểm \((0;1)\) nằm trên đồ thị, khi đó: \(1 = \frac{{a(0) + b}}{{c(0) + d}} \Leftrightarrow 1 = \frac{b}{d} \Leftrightarrow b = d\quad (4)\)
Từ \((1)\) và \((4)\), ta có \(a = b = d\).
Thay \(d = a\) vào \((3)\): \(4c + a = 3a\)\( \Leftrightarrow 4c = 2a\)\( \Leftrightarrow a = 2c\quad (5)\)
Để đơn giản, ta chọn \(c = 1\), từ \((5)\) suy ra \(a = 2\).
Khi đó \(b = a = 2\) và \(d = a = 2\). Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\).
Kiểm tra lại với các điểm đã cho:
Với \(B( - 1;0)\): \(y = \frac{{2( - 1) + 2}}{{ - 1 + 2}} = \frac{0}{1} = 0\). (Thỏa mãn)
Với \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\): \(y = \frac{{2(4) + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{8 + 2}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\). (Thỏa mãn)
Gọi \(M(x;y)\) là một điểm trên cung đường \(AB\). Khoảng cách từ \(M\) đến gốc tọa độ \(O(0;0)\) là \(OM = \sqrt {{{(x - 0)}^2} + {{(y - 0)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Để \(OM\) ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(O{M^2} = S(x) = {x^2} + {y^2}\) với \(x \in [ - 1;4]\).
Thay \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\) vào \(S(x)\)ta được: \(S(x) = {x^2} + {\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right)^2}\).
Ta có: \(S'(x) = 2x + 2\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}} \right) = 2x + \frac{{4(2x + 2)}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(S'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\).
Trên đoạn \([ - 1;4]\), ta tìm được nghiệm thực của phương trình \({x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\) là \({x_0} \approx  - 0,5826\).
Tại \(x =  - 1\) (điểm \(B\)): \(O{M^2} = {( - 1)^2} + {0^2} = 1\) \( \Rightarrow OM = 1\).
Tại \(x = 4\) (điểm \(A\)): \(O{M^2} = {4^2} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 16 + \frac{{25}}{9} = \frac{{144 + 25}}{9} = \frac{{169}}{9}\)\( \Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{169}}{9}}  = \frac{{13}}{3} \approx 4,333\).
Tại \({x_0} \approx  - 0.5826\), ta có: \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 2}}{{{x_0} + 2}} = \frac{{2 \cdot \left( { - 0,5826} \right) + 2}}{{ - 0,5826 + 2}} = \frac{{ - 1,1652 + 2}}{{1,4174}} = \frac{{0,8348}}{{1,4174}} \approx 0,58896\).
\(OM = \sqrt {x_0^2 + y_0^2}  = \sqrt {{{\left( { - 0,5826} \right)}^2} + {{\left( {0,58896} \right)}^2}} \)
\(OM = \sqrt {0,33942076 + 0,34687392}  = \sqrt {0,68629468}  \approx 0,82842\).
So sánh các giá trị \(OM\) tìm được giá trị nhỏ nhất là \(0,82842\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được \(0,83\).