Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều \[DEF\] sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là \[DEF\] và đáy lớn để hở.

Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác \(ABC\) là \(AMDN\), \(BPEQ,\,\,CSFR\) (như hình). Kẻ đường cao \(AH\) và gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Đặt \(x = DN = DM\,\,\,(0 < x < 2)\).

Đáp án: 3,16

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ ( đơn vị trên hệ trục là dm).

Ta có \(A(0;0),\,\,B(4;0),\,\,C(4;2),\,\,D(0;2).\)

Vì \(M\)thuộc cạnh \(BC\) nên \(M(4;m),\,\,(0 < m < 2).\)

Ta có \(AM = \sqrt {16 + {m^2}} \), Bán kính hình tròn nội tiếp tam giác \(ABM\) là

\(r = \frac{{{S_{ABM}}}}{p} = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BM}}{{\frac{1}{2}(AB + BM + AM)}} = \frac{{4m}}{{4 + m + \sqrt {16 + {m^2}} }} = \frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}\) nên diện tích hình tròn là \({S_1} = \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2}\)

Gọi \(a,\,(0 < a < 2)\) là cạnh hìn vuông thì đỉnh đối diện với đỉnh \(D\) là đỉnh \(I(a;2 - a)\) thuộc đường

thẳng \(AM:\,y = \frac{m}{4}.x \Rightarrow 2 - a = \frac{m}{4}.a \Rightarrow a = \frac{8}{{4 + m}}\).

Suy ra diện tích hình vuông là \({S_2} = {a^2} = \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\)

Tổng diện tích hình vuông và hình tròn là

\(S(m) = {S_1} + {S_2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2} + \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\), với \(0 < m < 2.\)

Table ta được giá trị tổng diện tích nhỏ nhất xấp xỉ  \(3,16\,(d{m^2})\)

a) Chọn sai.

Phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;2;2} \right)\]và bán kính \[R = 3\].

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right) \Rightarrow IM = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}}  = 3\sqrt 5 \].

           \[\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow IN = \left| {\overrightarrow {IN} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 3\sqrt 5 \].

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu tới các vệ tinh ở vị trí \[M\] và\[N\]là bằng nhau.

b) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left( {2;4;4} \right)\]cùng phương với vectơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\].

Phương trình chính tắc đường thẳng\[MN\]đi qua \[M\] và nhận vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\] là:

\[\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\]

c) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right);\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right)\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua tâm \[I\] và hai điểm \[M,N\].

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IM} \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IN} \end{array} \right.\] nên \[\overrightarrow n \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {IN} } \right] = \left( { - 24; - 12;24} \right)\].

Chọn \[\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 2} \right)\]ta được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[I,M,N\] là

\[2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 0\].

d) Chọn đúng.

Gọi \[K\]là một điểm bất kì trên bề mặt Trái Đất.

Tín hiệu được truyền từ vệ tinh ở \[M\]đến điểm \[K\] ngắn nhất \[ \Leftrightarrow \]\[M,K,I\] thẳng hàng với \[K\]nằm giữa \[M\]và \[I\].

Khi đó: \[MK = MI - IK = MI - R = 3\sqrt 5  - 3\].

Vậy thời gian để tín hiệu được truyền từ vệ tinh \[M\]đến điểm gần nhất thuộc bề mặt Trái Đất là\[\frac{{\left( {3\sqrt 5  - 3} \right).2100}}{{{{3.10}^5}}} \approx 0,026\] giây.