Trong không gian \[Oxyz\]thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\]. Hai vệ tinh truyền tín hiệu có vị trí \[M\left( {4; - 4;2} \right),N\left( {6;0;6} \right)\]. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) Chọn sai.

Phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;2;2} \right)\]và bán kính \[R = 3\].

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right) \Rightarrow IM = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}}  = 3\sqrt 5 \].

           \[\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow IN = \left| {\overrightarrow {IN} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 3\sqrt 5 \].

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu tới các vệ tinh ở vị trí \[M\] và\[N\]là bằng nhau.

b) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left( {2;4;4} \right)\]cùng phương với vectơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\].

Phương trình chính tắc đường thẳng\[MN\]đi qua \[M\] và nhận vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\] là:

\[\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\]

c) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right);\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right)\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua tâm \[I\] và hai điểm \[M,N\].

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IM} \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IN} \end{array} \right.\] nên \[\overrightarrow n \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {IN} } \right] = \left( { - 24; - 12;24} \right)\].

Chọn \[\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 2} \right)\]ta được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[I,M,N\] là

\[2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 0\].

d) Chọn đúng.

Gọi \[K\]là một điểm bất kì trên bề mặt Trái Đất.

Tín hiệu được truyền từ vệ tinh ở \[M\]đến điểm \[K\] ngắn nhất \[ \Leftrightarrow \]\[M,K,I\] thẳng hàng với \[K\]nằm giữa \[M\]và \[I\].

Khi đó: \[MK = MI - IK = MI - R = 3\sqrt 5  - 3\].

Vậy thời gian để tín hiệu được truyền từ vệ tinh \[M\]đến điểm gần nhất thuộc bề mặt Trái Đất là\[\frac{{\left( {3\sqrt 5  - 3} \right).2100}}{{{{3.10}^5}}} \approx 0,026\] giây.