Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 4\,dm,\,\,AD = 2\,dm.\) Bạn chọn một điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng \(AM,\) chia tờ giấy thành hai phần.

Ÿ Phần mảnh giấy chứa cạnh \(CD:\) Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh \(D,\) hai cạnh nằm trên đường \(DA\) và \(DC,\) đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt \(AM.\)

Ÿ Phần mảnh giấy chứa cạnh \(AB:\) Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác \(ABM.\)

Ÿ Gọi \(S\)(phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi \(M\) di động trên \(SB,\) giá trị nhỏ nhất của \(S\)bằng bao nhiêu \(dm\) (làm tròn đến hàng phần trăm)?

a) Đúng

Ta có \(NP = QR = SM = AB - AN - BP = 6 - 2x\,(dm)\).

b) Đúng

Do tam giác  \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\), nên \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}}  = 3\sqrt 3 \,(dm)\)

Và \(OA = \frac{2}{3}AH = 2\sqrt 3 \,(dm)\).

c) Đúng

Do \(AMDN\) là hình thoi cạnh \(x\) và \(\widehat {MAN} = {60^o}\),

Nên \(AD = \sqrt {A{N^2} + N{D^2} - 2AN.DN.cos{{120}^o}}  = x\sqrt 3 \,(dm)\)

Lại có tam giác \(CMQ\) đều cạnh \(6 - x\,(dm)\)

Vậy \(DE = MQ - QE - DM = 6 - x - x - x = 6 - 3x\,(dm)\).

d) Đúng

Ta có chóp cụt đều \(MPSDEF\) với cạnh đáy lớn \(MP = 6 - 2x\) và cạnh đáy nhỏ là \(DE = 6 - 3x\)

+) Ta có \({S_1} = {S_{DEF}} = \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).

+) Ta có \({S_2} = {S_{MPS}} = \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).

+) Ta có \(\sqrt {{S_1}{S_2}}  = \sqrt {\frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} \times \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}}  = \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).

Kẻ \(DK \bot MG\,(K \in MG)\).

Ta tính  \(h = OG = DK = \sqrt {M{D^2} - M{K^2}} \)

+) Ta có \(MD = x,\,\,MK = MG - KG = MG - DO = \frac{2}{3}\left( {6 - 2x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{2}{3}\left( {6 - 3x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow h = OG = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\,(dm)\)

Thể tích chóp cụt đều bằng

                            \(\begin{array}{l}V = \frac{h}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt 6 }}{{3.3}}\left( {\frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\, + \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {18} }}{{36}}\left( {19{x^3} - 90{x^2} + 108x} \right)\end{array}\)

Dùng casio xét trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta có \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;2} \right)} V \approx 4,54\,(d{m^3})\).

a) Chọn sai.

Phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;2;2} \right)\]và bán kính \[R = 3\].

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right) \Rightarrow IM = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}}  = 3\sqrt 5 \].

           \[\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow IN = \left| {\overrightarrow {IN} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 3\sqrt 5 \].

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu tới các vệ tinh ở vị trí \[M\] và\[N\]là bằng nhau.

b) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left( {2;4;4} \right)\]cùng phương với vectơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\].

Phương trình chính tắc đường thẳng\[MN\]đi qua \[M\] và nhận vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\] là:

\[\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\]

c) Chọn đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 6;0} \right);\overrightarrow {IN}  = \left( {5; - 2;4} \right)\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua tâm \[I\] và hai điểm \[M,N\].

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IM} \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {IN} \end{array} \right.\] nên \[\overrightarrow n \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {IN} } \right] = \left( { - 24; - 12;24} \right)\].

Chọn \[\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 2} \right)\]ta được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[I,M,N\] là

\[2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 0\].

d) Chọn đúng.

Gọi \[K\]là một điểm bất kì trên bề mặt Trái Đất.

Tín hiệu được truyền từ vệ tinh ở \[M\]đến điểm \[K\] ngắn nhất \[ \Leftrightarrow \]\[M,K,I\] thẳng hàng với \[K\]nằm giữa \[M\]và \[I\].

Khi đó: \[MK = MI - IK = MI - R = 3\sqrt 5  - 3\].

Vậy thời gian để tín hiệu được truyền từ vệ tinh \[M\]đến điểm gần nhất thuộc bề mặt Trái Đất là\[\frac{{\left( {3\sqrt 5  - 3} \right).2100}}{{{{3.10}^5}}} \approx 0,026\] giây.