Một hộp đựng \(6\) bi xanh đánh số từ \(1\) đến \(6\), \(7\) bi vàng đánh số từ \(1\) đến \(7\) và \(8\) bi đỏ đánh số từ \(1\) đến \(8\). Lấy ngẫu nhiên \(3\) bi từ hộp. Xác suất để ba bi lấy được có \(3\) số khác nhau và khác màu là    

Số phần tử không gian mẫu là: \(\left| \Omega \right| = C_{21}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố ba bi lấy được có 3 số khác nhau và 3 màu khác nhau.

Cách 1.

Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Bi đỏ được chọn ghi số \(8\). Khi đó có hai khả năng sau:

Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số \(7\). Khi đó có \(6\) cách chọn bi xanh.

Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn \(7\). Khi đó bi vàng có \(6\) cách chọn, bi xanh có \(5\) cách chọn.

Trường hợp 1 có \(6 + 6 \cdot 5 = 36\) cách chọn.

Trường hợp 2. Bi đỏ được chọn ghi số \(7\). Khi đó bi vàng có \(6\) cách chọn (từ \(1\) đến \(6\)) và bi xanh có \(5\) cách chọn (vì ghi số phải khác số bi vàng). Trường hợp này có \(6 \cdot 5 = 30\) cách chọn.

Trường hợp 3. Bi đỏ được chọn ghi số bé hơn \(7\). Bi đỏ có \(6\) cách chọn.

Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số \(7\). Khi đó bi xanh có \(5\) cách chọn (ghi số khác bi đỏ).

Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn \(7\) và khác số bi đỏ. Khi đó bi vàng có \(5\) cách chọn và bi xanh có \(4\) cách chọn.

Trường hợp 3 này có \(6\left( {5 + 5 \cdot 4} \right) = 150\) cách chọn.

Vậy số phần tử của biến cố \(A\) là: \(\left| A \right| = 36 + 30 + 150 = 216\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{216}}{{C_{21}^3}} = \frac{{108}}{{665}}\).

Cách 2.

Có \(6\) cách chọn bi xanh.

Với mỗi cách chọn bi xanh có \(6\) cách chọn bi vàng để bi vàng ghi số khác với bi xanh.

Với mỗi cách chọn bi xanh và bi vàng có \(6\) cách chọn bi đỏ ghi số khác với bi vàng, bi xanh.

Vậy số phần tử của biến cố \(A\) là: \(\left| A \right| = {6^3}\).

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{{6^3}}}{{C_{21}^3}} = \frac{{108}}{{665}}\). Chọn B.