(1 điểm). Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'B'M} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(30^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'M\).

Ta có \[{4^{{x^2} - 3x + 2}} + {4^{2{x^2} + 6x + 5}} = {4^{3{x^2} + 3x + 7}} + 1\]

\[ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 3x + 2}} + {4^{2{x^2} + 6x + 5}} = {4^{{x^2} - 3x + 2}} \cdot {4^{2{x^2} + 6x + 5}} + 1\]

\[ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1 + {4^{2{x^2} + 6x + 5}} - {4^{{x^2} - 3x + 2}} \cdot {4^{2{x^2} + 6x + 5}} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {{4^{{x^2} - 3x + 2}} - 1} \right)\left( {1 - {4^{2{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \({4^{{x^2} - 3x + 2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\).

Trường hợp 2: \({4^{2{x^2} + 6x + 5}} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x + 5 = 0\), phương trình này vô nghiệm.

Vậy, phương trình cho có \(2\) nghiệm \(x = 1,\) \(x = 2\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right..\)

Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;2} \right)\].

Chọn D.