Đề ôn thi ĐGNL ĐHSP Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 1

Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Cho hình tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình?

Cho hàm số $y=x^3–3x^2+2$

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Một hộp đựng 8 thẻ được đánh số từ 2 đến 9. Bạn Lê lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Lần thứ hai, bạn Lê cũng lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Tiếp tục như vậy, sau năm lần bạn Lê đã ghi lại được 5 số. Tính xác suất để trong 5 số ghi được có đúng 2 số chia hết cho 4.

Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian \(Oxyz\) hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\). Người ta muốn tạo một con đường \(\Delta \) cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) nhỏ nhất. Tính độ dài \(AB\).

Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học, tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.

Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.

(1 điểm). Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'B'M} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(30^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'M\).

(1 điểm). Một cái bình cổ có hình dạng như Hình a. Giả sử mô hình toán mô phỏng việc tạo thành cái bình cổ đó bằng cách xoay phần diện tích (gạch sọc) được giới hạn bởi đường cong \(f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 12\) và \(g\left( x \right) = - x + 6\) quanh trục \(Ox\) như Hình b. Hãy tính thể tích của cái bình cổ đó.