Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Giám đốc một nhà hát đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là \[200\] nghìn đồng/người thì trung bình có \[1000\] người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm 10 nghìn đồng /người thì sẽ mất \[100\] khách hàng hoặc giảm đi \[10\] nghìn đồng /người thì sẽ có thêm \[100\] khách hàng trong số trung bình.Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại \[20\] nghìn đồng lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu nghìn đồng để thu nhập là lớn nhất?

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {OD} = \left( {20\,;0\,;9} \right)\) và \(OD = \sqrt {{{20}^2} + {9^2}} = \sqrt {481} \)km \( \approx 22000\) m.

b) Đúng. Tọa độ trung điểm \(I\) của \(DE\) là \(\left( {10;8;\frac{{21}}{2}} \right).\)

Khi máy bay bay đến điểm \(I,\) máy bay cách mặt đất \(\frac{{21}}{2}\)km hay \(10500\)m.

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {DE} = \left( { - 20;16;3} \right)\).

Đường thẳng \(DE\) đi qua điểm \(D\left( {20;0;9} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {DE} = \left( { - 20\,;16\,;3} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20 - 20t\\y = 16t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.,(t \in \mathbb{R}).\)

Thay tọa độ điểm \(P\left( {16;3,2;9,6} \right)\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(DE\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}16 = 20 - 20t\\3,2 = 16t\\9,6 = 9 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0,2\\t = 0,2\\t = 0,2\end{array} \right.\). Như vậy \(P \in DE.\)

Do đó trên đoạn đường bay từ \(D\) đến \(E,\) máy bay sẽ đi qua điểm \(P\left( {16;3,2;9,6} \right)\).

d) Sai. Gọi \(H\left( {20 - 20t;16t;9 + 3t} \right) \in DE\) là hình chiếu của \(O\) trên \(DE.\)

Hai vectơ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} = \left( {20 - 20t;16t;9 + 3t} \right)\\\overrightarrow {DE} = \left( { - 20;16;3} \right)\end{array} \right.\) vuông góc với nhau nên

\(\overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {DE} = 0 \Leftrightarrow - 20\left( {20 - 20t} \right) + 16 \cdot 16t + 3\left( {9 + 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{373}}{{665}}.\)

Khi đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{1168}}{{133}};\frac{{5968}}{{665}};\frac{{7104}}{{665}}} \right)\) và \(OH = \sqrt {{{\left( {\frac{{1168}}{{133}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5968}}{{665}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7104}}{{665}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{180736}}{{665}}} = \frac{{16\sqrt {469490} }}{{665}}.\)

Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay bay trong phạm vi theo dõi của ra đa là:

\(2\sqrt {{{20}^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {{{20}^2} - \frac{{180736}}{{665}}} = \frac{{584\sqrt {665} }}{{665}} \approx 22600\) m.

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ \(k\)”; \(k = 1,2,3.\)

Theo đầu bài ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\); \(P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{30}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{50}} = \frac{1}{5}.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ”. Khi đó: \(A = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}.\)

Vì \(3\) biến cố \({A_1}\), \(\overline {{A_1}} {A_2}\), \(\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\) xung khắc từng đôi nên: \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right).\)

Theo công thức nhân xác suất \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \left( {1 - 0,5} \right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right)\)

\( = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left[ {1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)} \right] \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \left( {1 - 0,5} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{15}}.\)

Do đó: \(P\left( A \right) = 0,5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}.\)

Trả lời: \(\frac{{11}}{{15}}\).