Xét các số thực dương \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(\frac{1}{2}{\log _2}\frac{x}{4} + {\log _2}y = \frac{{4 - x{y^2}}}{{{y^2}}}.\) Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(\frac{x}{y}\) bằng (nhập đáp án vào ô trống):
__
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo ĐGNL ĐHQG Hà Nội (HSA) năm 2026-2027 (Đề 13) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả thiết trở thành: \({\log _2}x - {\log _2}4 + 2{\log _2}y = \frac{8}{{{y^2}}} - 2x\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x - {\log _2}4 - {\log _2}{y^{ - 2}} = 8 \cdot {y^{ - 2}} - 2x\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x + 2x = {\log _2}4 + {\log _2}{y^{ - 2}} + 2 \cdot \left( {4 \cdot {y^{ - 2}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x + 2x = {\log _2}\left( {4{y^{ - 2}}} \right) + 2 \cdot \left( {4{y^{ - 2}}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0,\,\,\forall t > 0\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó \[f\left( x \right) = f\left( {4{y^{ - 2}}} \right) \Leftrightarrow x = 4{y^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{{{y^2}}}\].
Đặt \(P = x + 4y = 2y + 2y + \frac{4}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{2y \cdot 2y \cdot \frac{4}{{{y^2}}}}} = 6\sqrt[3]{2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2y = \frac{4}{{{y^2}}} \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{2} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{4}{{{y^3}}} = \frac{4}{2} = 2.\)
Đáp án cần nhập là: 2.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Gọi \[A\] là biến cố “học sinh giỏi toán”, \[B\] là biến cố “học sinh giỏi lý”.
Ta có \(AB\) là biến cố “học sinh giỏi toán và lý”.
\(A \cup B\) là biến cố “học sinh giỏi toán hoặc lý”.
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8}\,;\,\,P\left( B \right) = \frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4}\,;\,\,P\left( {AB} \right) = \frac{5}{{40}} = \frac{1}{8}.\)
Do đó \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\] Chọn B.
Lời giải
Ta có \(F\left( x \right) = \int f \left( x \right){\rm{d}}x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + {C_1}}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + {C_2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\).
Theo bài ra, ta có \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).
Hàm số \(F\left( x \right)\) liên tục nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right)\)
\[ \Leftrightarrow 3 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 1{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + 2{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}x < 1}\end{array}} \right.\].
Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + \left( { - 1} \right) + 2 + 2 \cdot \left( {{2^2} + 2 \cdot 2 + 1} \right) = 18.\)
Đáp án cần nhập là: 18.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập