Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2\,;\,\,3} \right]\) để hàm số \(y = {x^3} - \frac{3}{2}\left( {2m - 3} \right){x^2} + m + 2\) có hai điểm cực trị và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2?

     

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\left( {2m - 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m - 3}\end{array}} \right.\)

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}.\)

TH1: \(2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\).

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có điểm cực tiểu là \(x = 2m - 3\).

Vì hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2 nên \(2m - 3 < 2 \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}.\)

Kết hợp \(m > \frac{3}{2}\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\).

TH2: \(2m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\).

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có điểm cực tiểu là \(x = 0 < 2\).

Kết hợp với \(m \in \left[ { - 2\,;\,\,3} \right]\) và \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,} \right\}.\]