Có bao nhiêu số thực dương \(a\) để tích phân \(\int\limits_0^1 {\frac{{2x + a}}{{x + a}}} \;{\rm{d}}x = 2 - 2a\)?

     

Ta có \[\int\limits_0^1 {\frac{{2x + a}}{{x + a}}} \;{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {x + a} \right) - a}}{{x + a}}} \;{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left( {2 - \frac{a}{{x + a}}} \right)} \;{\rm{d}}x\]

\( = \left. {\left( {2x - a\ln \left| {x + a} \right|} \right)} \right|_0^1 = 2 - a \cdot \ln \left| {a + 1} \right| + a \cdot \ln \left| a \right|\)\( = 2 - a \cdot \left[ {\ln \left( {a + 1} \right) - \ln a} \right] = 2 - a \cdot \ln \left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)\)

Theo bài ra, ta được \(2 - a \cdot \ln \left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right) = 2 - 2a\)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{a + 1}}{a} = {e^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}.\) Chọn C.