Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) - {x^2} + 2x + m.\) Giá trị của tham số \(m\) để \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 8\] là:

     

Đặt \(t = {x^3} + x.\) Vì \(x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0\,;\,\,10} \right].\)

Ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left[ {f\left( {{x^3} + x} \right) - {x^2} + 2x + m} \right]\)

\( = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( { - {x^2} + 2x + m} \right)\)

\[ = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) + 1 + m\] (với \(t = {x^3} + x\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left[ { - {x^2} + 2x + m} \right] = 1 + m\)).

\( = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( x \right) + 1 + m = 4 + 1 + m = 5 + m.\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g(x) = 5 + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{t = 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right..\)

Theo giả thiết, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow m + 5 = 8 \Leftrightarrow m = 3.\) Chọn D.