Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-1010; 1010] của tham số để đường thẳng y = x+m cắt đồ thị hàm số $y= \frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  _____

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = x + m\) và \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\):

\(x + m = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\, \Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 2x - 3\,\,\left( {x \ne 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow {x^2} + mx - x - m = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) = {m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 = {m^2} - 2m - 3\).

Để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{1^2} + \left( {m - 3} \right) \cdot 1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 3\end{array} \right.\).

Theo giả thiết: \( - 1010 \le m \le 1010\) và \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 3\end{array} \right.\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 1010 \le m < - 1\\3 < m \le 1010\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) và \( - 1010 \le m < - 1\), suy ra có \(1009\) giá trị nguyên \(m\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) và \(3 < m \le 1010\), suy ra có \(1007\) giá trị nguyên \(m\).

Tóm lại có tất cả \(1009 + 1007 = 2016\) giá trị nguyên của tham số \(m\).

Đáp án cần nhập là: 2016.