Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên tập số thực không âm và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2,\,\,\forall x \ge 0.\) Tính \[\int\limits_1^5 {f\left( x \right)\,} dx\].

     

Gọi biến cố A: “Thỏ được bắt từ chuồng I bỏ sang chuồng II là thỏ trắng”.

Biến cố B: “Thỏ được bắt ra từ chuồng II là thỏ trắng”.

Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\).

Có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}\).

Cần tính: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}}}} = \frac{7}{{13}}\). Chọn B.

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{f\left( {{x^2}} \right) - m}}\) có 4 đường tiệm cận đứng khi phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = m\) có 4 nghiệm \(x\) phân biệt.

Đặt \(t = {x^2}\,,\,\,t \ge 0.\)

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy, phương trình \(f\left( t \right) = m\) có 2 nghiệm dương \(t\) phân biệt khi \( - 1 < m < 3\).

Với mỗi giá trị \(t > 0\) cho ta 2 giá trị đối nhau của \(x\), nên với điều kiện \( - 1 < m < 3\), phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = m\) có 4 nghiệm \(x\) phân biệt.

Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{f\left( {{x^2}} \right) - m}}\) có 4 tiệm cận đứng khi \( - 1 < m < 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}\).

Đáp án cần nhập là: 3.