Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(A\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,3} \right)\,;\,\,M\) là điểm thay đổi trên \(\left( S \right)\). Gọi \[m,\,\,n\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} - M{B^2}\). Tính \(m - n.\)

     

Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \vec 0\)

\( \Rightarrow I\left( {2{x_A} - {x_B}\,;\,\,2{y_A} - {y_B}\,;\,\,2{z_A} - {z_B}} \right) \Rightarrow I\left( {5\,;\,\,5\,;\,\, - 1} \right)\).

Suy ra \(I\) là điểm cố định.

\(P = 2M{A^2} - M{B^2}\)\( = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{A^2} - I{B^2}\)

\( = M{I^2} + 2I{A^2} - I{B^2}\).

Suy ra \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \[MI\] đạt giá trị nhỏ nhất, \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi \[MI\] đạt giá trị lớn nhất.

\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(J\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\), suy ra \(IJ = 5.\)

Mà \(M\) là điểm thay đổi trên \[\left( S \right)\]. Khi đó:

• \(\min MI = \left| {JI - R} \right| = 5 - 3 = 2\);

• \(\max MI = JI + R = 5 + 3 = 8\).

Suy ra \(m - n = {8^2} - {2^2} = 60\). Chọn C.