Giả sử \({x_1},\,\)\({x_2}\) là nghiệm của phương trình :\({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\)

Tìm hệ thức giữa \({x_1},\)\({x_2}\) không phụ thuộc vào \(m\).

1.       Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8.}\end{array}} \right.\)

2.       Phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge 0\) đúng với mọi m.

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\ x_1{x}_2=-m-3.\text{ (2) }\end{array}\right.$
Từ (2) ta có \(m = - {x_1}{x_2} - 3\) thế vào \[\left( 1 \right)\] ta có

\({x_1} + {x_2} = 2\left( { - {x_1}{x_2} - 3 - 1} \right) = - 2{x_1}{x_2} - 8 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} + 8 = 0.\)Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc \(m\).