Biết rằng \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{4\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 3\cos x}}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\pi }}{2} + b\ln 2 - c\ln 3\], với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(P = abc\).

a) Đúng vì từ bảng xét dấu ta thấy:  \[{x^2} - 9 \le 0,\,\forall x \in \left[ {0,3} \right]\] và \[{x^2} - 9 \ge 0,\,\forall x \in \left[ {3,9} \right]\]

b) Sai vì \[\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^3 {f(x)dx + \int\limits_3^9 {f(x)dx} } \].

c) Đúng vì theo bảng xét dấu ta có:

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx + \int\limits_3^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } } \int\limits_0^3 {\left[ { - \left( {{x^2} - 9} \right)} \right]dx + \int\limits_3^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} } \\ =  - \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx + \int\limits_3^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} } \end{array}\]

d) Sai.

Thế \[m = 1\] vào đẳng thức  \[\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^m {\left( {{x^2} - 9} \right)dx}  + \int\limits_m^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} \,\] ta được

\[\int\limits_0^9 {\left| {{x^2} - 9} \right|dx = } \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx}  + \int\limits_1^9 {\left( {{x^2} - 9} \right)dx} \,\,\,\left( 1 \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}VP(1) = 162\\VT(1) = 198\end{array} \right.\].