Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường Parabol như hình vẽ. Biết rằng sau \[15s\] thì xe đạt đến vận tốc cao nhất \(60m/s\) và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

Hàm số vận tốc có đồ thị là đường Parabol \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\), theo hình vẽ ta thấy đỉnh của Parabol là \(I\left( {15;60} \right)\), đồng thời đi qua gốc \(O\left( {0;0} \right)\), suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 15\\a{.15^2} + b.15 + c = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\30a + b = 0\\a{.15^2} + b.15 + 0 = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{{15}}\\b = 8\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow v\left( t \right) =  - \frac{4}{{15}}{t^2} + 8t\).

Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc \[t = 0\] và đạt vận tốc cao nhất lúc \[t = 15s\] nên quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất là:

\[\int\limits_0^{15} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{15} {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^2} + 8t} \right)dt}  = \left. {\left( { - \frac{4}{{45}}{t^3} + 4{t^2}} \right)} \right|_0^{15} = 600\,m\].