Cho phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] với \[m\] là tham số. Khi nào

a) Giải phương trình với \[m = 2\]

b) Chứng minh rằng với mọi \[m \in \mathbb{R}\], phương trình luôn có nghiệm.

c) Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có 6 giờ 40 phút \( = 6\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ, \(x > 6\frac{2}{3}\) ).

Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong việc là \(x + 3\) (giờ).

Mỗi giờ công nhân thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi giờ công nhân thứ hai làm được \(\frac{1}{{x + 3}}\) (công việc).

Theo đầu bài, hai công nhân cùng làm thì hoàn thành công việc trong \(6\frac{2}{3}\) giờ. Nên mỗi giờ họ cùng làm được \(1:6\frac{2}{3} = \frac{3}{{20}}\) (công việc). Ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 3{x^2} - 31x - 60 = 0\).

Ta có \(\Delta  = {31^2} - 4.3.( - 60) = 1681 > 0\) nên phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - \frac{5}{3}(\)loại\();{x_2} = 12\) (nhận).

Vậy thời gian công nhân thứ nhất làm xong công việc là 12 giờ. Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,(\;{\rm{m}},x > 0)\), thì chiều rộng hình chữ nhật là \(\frac{{100}}{x}(\;{\rm{m}})\).

Theo đầu bài, nếu tăng chiều rộng thửa ruộng lên\(2\;{\rm{m}}\)và giảm chiều dài thửa ruộng đi \(5\;{\rm{m}}\) thì diện tích thửa ruộng tăng thêm \(5\;{{\rm{m}}^2}\), ta có phương trình:

\((x - 5) \cdot \left( {\frac{{100}}{x} + 2} \right) = 100 + 5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x - 500 = 0\)

Ta có \(\Delta  = {15^2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 500) = 4225 > 0\), nên phương trình có nghiệm \({x_1} =  - \frac{{25}}{2}(\)loại\();{x_2} = 20\) (nhận).

Vậy chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là \(20\;{\rm{m}}\), chiều rộng là \(5\;{\rm{m}}\).