Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 1 = 0{\rm{\;}}\) (1), với \(m\) là tham số.

1. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m.\)

1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy \(m =  - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ =  4m  -  1       }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Vậy đây là biểu thức cần tìm.