Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào \(m\).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x_1^2 + x_2^2\) (với \[{x_1}\], \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho)

1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy \(m =  - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ =  4m  -  1       }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Vậy đây là biểu thức cần tìm.

Vì \(\Delta  = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có\({x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2\)

a) Ta có:

\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21\)

b) Ta có:

\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2}  = \sqrt {17} \)

c) Vì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0\) nên \({x_1} > 0,{x_2} > 0\). Ta có

\(C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}\)

d) Ta có:

1. \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}}  = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }  = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)\(.\)

Suy ra \(D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}}  + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}}  \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}\)