Cho phương trình ${x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào $m$.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = x_1^2 + x_2^2$ (với \[{x_1}\], \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 22 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 3. Định lý Viète & Ứng dụng lượng giác có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $Δ^{'} = {[- (m - 1)]}^{2} - 1. (m - 3) = m^{2} - 3 m + 4 = {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\]

$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0$ không phụ thuộc vào $m$.

c) $P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)$

$ = {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}$, $\forall m$

Do đó ${P_{\min }} = \frac{{15}}{4}$ và dấu xảy ra khi $2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}$

Vậy ${P_{\min }} = \frac{{15}}{4}$ với $m = \frac{5}{4}$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $3{x^2} + 7x + m = 0$ có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số $m$ và tìm nghiệm còn lại.

Xem đáp án

Lời giải

\[m = - 10\]; \[{x_2} = - \frac{{10}}{3}\].

Câu 2

Cho phương trình $2{x^2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0$.

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},$ ${x_2}$ thoả điều kiện $3{x_1} - 4{x_2} = 11$;

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm đều âm;

c) Tìm một hệ thức giữa ${x_1},$ ${x_2}$ không phụ thuộc vào $m$.

Xem đáp án

Lời giải

a) \[\Delta = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] rồi thay vào \[\left( 3 \right)\].

Chú ý: Có thể tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] từ phương trình đã cho rồi thay vào \[\left( 2 \right)\].

b) Phương trình có hai nghiệm đều âm khi

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P < 0\end{array} \right.\] giải ra được \[m > 1\].

c) Khử \[m\] từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 3 \right)\].

Câu 3