Cho  nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AD\), đường cao \(AH\).

a) Chứng minh $△AHB$ và $△ACD$ đồng dạng.

b) Gọi \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tương ứng với các đỉnh \(A,B,C\). Chứng minh \({S_{ABC}} = \frac{{{\rm{ }}a.b.c{\rm{ }}}}{{4R}}\).

a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi. kẻ được \[n - 1\] đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, \[n - 3\] đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có \[n\] đỉnh nên kẻ được \[n\left( {n - 3} \right)\] đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình \[n\]- giác lồi là \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\].

b) Giải phương trình \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n\]. Ta được \[n = 5\]

Ta có : \(AB = BC = CD = DE = EA\,\,\left( {gt} \right)\,\,\left( * \right)\)

Xét tam giác \(ABE\) có \(AB = AE\,\,\) (gt)

Nên \(\Delta ABE\) cân tại A có \(\widehat A = 108^\circ \)

\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ  - 108^\circ }}{2} = 36^\circ \)

Tương tự với tam giác \(BCD\), ta có : \({\widehat B_3} = {\widehat D_1} = 36^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} = {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = 108^\circ \)

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = 108^\circ  - \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat B}_3}} \right) = 108^\circ  - \left( {36^\circ  + 36^\circ } \right) = 36^\circ \)

Dễ thấy \(\Delta ABE = \Delta CBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)