Cho  nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AD\), đường cao \(AH\).

a) Chứng minh $△AHB$ và $△ACD$ đồng dạng.

b) Gọi \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tương ứng với các đỉnh \(A,B,C\). Chứng minh \({S_{ABC}} = \frac{{{\rm{ }}a.b.c{\rm{ }}}}{{4R}}\).

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AM\)(Hình vẽ). Chứng minh \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\)

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(I\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn tâm \(I\);

b) \[ME,{\rm{ }}MF\]tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[AEHF\].

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng\(a\). Góc vuông \[xAy\] thay đổi sao cho tia \(Ax\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại \(M\) và tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(CD\) kéo dài tại \(N\).

a) Chứng minh hai tam giác \[ABM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AND\] bằng nhau;

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Chứng minh \[ABMO{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}ANDO\]là các tứ giác nội tiếp;

c) Chứng minh ba điểm \(B,D,O\) thẳng hàng.

Hình lục giác đều cạnh 6 cm được cho như hình vẽ. Dựng 6 cung tròn, mỗi cung tròn có tâm là một đỉnh của lục giác và có bán kính bằng 3 cm. Hỏi diện tích phần màu xám trong hình vẽ bằng bao nhiêu?

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Chứng minh rằng các tứ giác \(ANOP,BPOM,CMON\) là các tứ giác nội tiếp.

\(M\) ở chính giữa nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Trên cung nhỏ  lấy điểm \(C\) bất kì. Vẽ tiếp tuyến tại \(B\) của \(\left( O \right)\) cắt \(MC\) tại \(D\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC\). Kẻ \(HI\) vuông góc với \(AB\). Chứng minh rằng \(CA\) là tia phân giác của góc \(\widehat {MCI}\).