Cho tam giác nhọn \(ABC\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AM\)(Hình vẽ). Chứng minh \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\)

a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi. kẻ được \[n - 1\] đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, \[n - 3\] đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có \[n\] đỉnh nên kẻ được \[n\left( {n - 3} \right)\] đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình \[n\]- giác lồi là \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\].

b) Giải phương trình \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n\]. Ta được \[n = 5\]

Trường hợp 1: D nằm trên cung lớn .

Ta có \(\widehat {{\rm{SCM}}} = \widehat {{\rm{SDM}}}\) (1) góc nội tiếp cùng chắn cung  của đường tròn đường kính \(MC\)).

Dễ thấy $\widehat{MDC}={90}^{°}$ (MC là đường kính). Tương tự  $\widehat{BAC}={90}^{°}$ (gt).

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \(B,A,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(BC\).

\( \Rightarrow \widehat {SDM} = \widehat {ACB}\) (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung  ).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {MCB}\) hay \(CA\) là tia phân giác của góc\(SCB\).

Trường hợp 2: D nằm trên cung nhỏ  và Trường hợp \(3:{\rm{D}}\) trùng với S. (Học sinh tự giải).