Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ sau. Phép quay ngược chiều \(60^\circ \) tâm \(O\) biến các điểm \(A,B,C\) lần lượt thành các điểm\(D,E,F\). Chứng minh rằng là một lục giác đều.

Ta có : \(AB = BC = CD = DE = EA\,\,\left( {gt} \right)\,\,\left( * \right)\)

Xét tam giác \(ABE\) có \(AB = AE\,\,\) (gt)

Nên \(\Delta ABE\) cân tại A có \(\widehat A = 108^\circ \)

\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ  - 108^\circ }}{2} = 36^\circ \)

Tương tự với tam giác \(BCD\), ta có : \({\widehat B_3} = {\widehat D_1} = 36^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} = {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = 108^\circ \)

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = 108^\circ  - \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat B}_3}} \right) = 108^\circ  - \left( {36^\circ  + 36^\circ } \right) = 36^\circ \)

Dễ thấy \(\Delta ABE = \Delta CBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

a) Phép quay ngược chiều 72^o tâm O biến điểm A biến B thì các điểm \(B,C,D,E\) lần lượt biến thành các điểm \(C,D,E\)và A .

b) Ba phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều:

1. Phép quay ngược chiều 144^o;

2. Phép quay ngược chiều 216^o;

3. Phép quay thuận chiều 72^o.

Bạn hãy tìm thêm những phép quay còn lại giữ nguyên hình ngũ giác đều.