a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi. kẻ được \[n - 1\] đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, \[n - 3\] đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có \[n\] đỉnh nên kẻ được \[n\left( {n - 3} \right)\] đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình \[n\]- giác lồi là \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\].

b) Giải phương trình \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n\]. Ta được \[n = 5\]

Câu 4/18

Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho. (ảnh 1)

Ta có tam giác $AOB$vuông tại $O$. Theo định lí Pythagore, ta có: $O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$

hay ${R^2} + {R^2} = 9$$ \Leftrightarrow 2{{\rm{R}}^2} = 9 \Leftrightarrow {{\rm{R}}^2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {\rm{R}} = \sqrt {\frac{9}{2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})$

Ta có cạnh của hình lục giác đều bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Gọi $P$ là chu vi của hình lục giác đều, $P = 6.\frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 9\sqrt 2 (\;{\rm{cm}})$

Xét tam giác đều $KOI$ cạnh $R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$ nên đường cao $ON = OK.\sin \widehat {OKN} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó diện tích tam giác $KOI = \frac{1}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{18\sqrt 3 }}{8}\left( {\;c{m^2}} \right)$

Tích tam hình lục giác đều là: $S = 6.\frac{{18\sqrt 3 }}{8} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\left( {\;c{m^2}} \right)$.

Câu 5/18

Cho ngũ giác $ABCDE$ có các cạnh bằng nhau và $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 108^\circ $. Ngũ giác $ABCDE$ có phải là ngũ giác đều không?

Xem đáp án

Lời giải

$Cho ngũ giác $ABCDE$ có các cạnh bằng nhau và $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 108^\circ $. Ngũ giác $ABCDE$ có phải là ngũ giác đều không? (ảnh 1)$

Ta có : $AB = BC = CD = DE = EA\,\,\left( {gt} \right)\,\,\left( * \right)$

Xét tam giác $ABE$ có $AB = AE\,\,$ (gt)

Nên $\Delta ABE$ cân tại A có $\widehat A = 108^\circ $

$ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 108^\circ }}{2} = 36^\circ $

Tương tự với tam giác $BCD$, ta có : ${\widehat B_3} = {\widehat D_1} = 36^\circ $

Lại có $\widehat {ABC} = {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = 108^\circ $

$ \Rightarrow {\widehat B_2} = 108^\circ - \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat B}_3}} \right) = 108^\circ - \left( {36^\circ + 36^\circ } \right) = 36^\circ $

Dễ thấy $\Delta ABE = \Delta CBD\,\,\left( {c.g.c} \right)$

Câu 6/18

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ như hình vẽ sau. Phép quay ngược chiều $60^\circ $ tâm $O$ biến các điểm $A,B,C$ lần lượt thành các điểm$D,E,F$. Chứng minh rằng là một lục giác đều.

$Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn \(\left( (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Phép quay ngược chiều $60^\circ $ tâm $O$ biến các điểm $A,B,C$ lần lượt thành các điểm$D,E,F$$ \Rightarrow $ các tam giác $AOD,\,DOB,\,BOE,\,EOC,\,COF$ là các tam giác đều

$ \Rightarrow $$AD = DB = BE = EC = CF$và $\widehat {ADB} = \widehat {DBE} = \widehat {BEC} = \widehat {ECF} = \widehat {CFA} = \widehat {FAD} = 120^\circ $

Do đó $ADBECF$ là một lục giác đều.

Câu 7/18