Một hình trụ \[\left( T \right)\] được tạo ra khi quay hình chữ nhật \[ABCD\] một vòng quanh cạnh \[AB.\] Biết \[AC = 2a\sqrt 2 \] và \[\widehat {ACB} = 45^\circ .\] Thể tích \[V\] của hình trụ \[\left( T \right)\] là

Chọn D

Gọi \[r,h,V\] lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, thể tích của hình trụ cũ.

\[r',h',V'\] lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, thể tích của hình trụ mới.

Vì tăng bán kính đáy của hình trụ cũ lên 4 lần nên ta có \[r' = 4r.\]

Vì giữ nguyên chiều cao của hình trụ cũ nên ta có \[h' = h.\]

Ta có: \[V' = \pi {r'^2}h' = \pi  \cdot {\left( {4r} \right)^2}h = 16\pi {r^2}h = 16V.\]

Do đó thể tích của hình trụ mới của hình trụ gấp 16 lần thể tích của hình trụ cũ.

Chọn B

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

⦁ Chiều cao của hình trụ bằng cạnh của hình lập phương. Tức là, \[h = x.\]

⦁ Đường kính đáy của hình trụ bằng cạnh của hình lập phương. Tức là, \[2r = x.\] Suy ra \[r = \frac{x}{2}.\]

Thể tích của hình trụ là: \[V = \pi {r^2}h = \pi  \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} \cdot x = \frac{{\pi {x^3}}}{4}.\]

Thể tích của hình lập phương là: \[V' = {x^3}.\]

Do đó tỉ số thể tích của hình trụ và hình lập phương đã cho là: \[\frac{V}{{V'}} = \frac{{\frac{{\pi {x^3}}}{4}}}{{{x^3}}} = \frac{\pi }{4}.\]