Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{O}}xyz\], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\) sao cho \(O \equiv {D_1}\), \({C_1}\) thuộc tia \(Ox\), \({A_1}\) thuộc tia \(Oy\), \(D\) thuộc tia \(Oz\).

a) Sai

Với \(m = 1\) thì  mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình: \(x + y + 2019 = 0\).

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\[\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(45^\circ \).

b) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;\,2;\,1} \right)\) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( R \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {OH} ,\,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Vậy côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).

c) Sai.

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,m;\,m - 1} \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 1\).

d) Sai.

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{{3.\sqrt {2{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le \frac{1}{{3\sqrt {\frac{3}{2}} }}\) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}m = \frac{1}{2}\].