Trong một bể hình lập phương cạnh \(1\,{\rm{m}}\) có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành \(ABCD\) và khoảng cách từ các điểm \(A\), \(C\) đến đáy bể tương ứng là \(25\,{\rm{cm}}\), \(75\,{\rm{cm}}\).

Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Sai.

Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C₁ (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).

b) Sai.

Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}}  = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).

Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).

Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).

c) Sai.

Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C}  = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).

Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).

Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai

 Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).

a) Sai

Với \(m = 1\) thì  mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình: \(x + y + 2019 = 0\).

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\[\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(45^\circ \).

b) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;\,2;\,1} \right)\) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( R \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {OH} ,\,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Vậy côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).

c) Sai.

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,m;\,m - 1} \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 1\).

d) Sai.

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{{3.\sqrt {2{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le \frac{1}{{3\sqrt {\frac{3}{2}} }}\) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}m = \frac{1}{2}\].