Trong một bể hình lập phương cạnh \(1\,{\rm{m}}\) có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành \(ABCD\) và khoảng cách từ các điểm \(A\), \(C\) đến đáy bể tương ứng là \(25\,{\rm{cm}}\), \(75\,{\rm{cm}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng
với các trục tọa độ như hình trên.
Do hình hình hộp có kích thước đáy là \(1\,{\rm{m}} \times 1\,{\rm{m}}\) nên \(A\left( {100;0;25} \right)\), \(B\left( {0;0;b} \right)\), \[C\left( {0;100;75} \right)\].
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 100;0;b - 25} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 100;100;50} \right)\).
Nên \[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2500 - 100b;7500 - 100b; - 10000} \right) = 100\left( {25 - b;75 - b; - 100} \right)\].
Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}.\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}}\).
\( = \frac{{100}}{{\sqrt {{{\left( {25 - b} \right)}^2} + {{\left( {75 - b} \right)}^2} + {{\left( { - 100} \right)}^2}} }} = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}\).
Để \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}\) đạt giá trị lớn nhất
thì biểu thức \[P = 2{b^2} - 200b + 16250\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Dễ thấy biểu thức \[P = 2{b^2} - 200b + 16250\] là một hàm số bậc hai nên đạt giá trị nhỏ nhất là \(P = 11250\)
tại \(b = 50\) hay giá trị \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) khi \(b = 50\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
![Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid14-1770298834.png)
a) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,0;\, - 1} \right)\).
b) Với \(x = 3\) thì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).
c) Với \(x = 2\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Sai.
Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C1 (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).
\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).
Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}} = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).
Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).
c) Sai.
Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C} = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).
Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).
Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Sai
Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).
Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).
Không tồn tại \(x\)để góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) lớn nhất.Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, ta có mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên có phương trình \(z = 0\), suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Ta có \(A\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(C\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right)\),\(D'\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AC} = \left( {a\,;\,a\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AD'} = \left( {a\,;\,0\,;\, - a} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\),\(\overrightarrow v = \left( {1;0; - 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
Ta có \[\cos \varphi = = \left| {\frac{{1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] .Câu 3
a) Với \(m = 1\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(30^\circ \).
b) Điểm \(H\left( {2;\,2;\,1} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( R \right)\), côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).
c) \({m_1},\,{m_2}\) là hai giá trị của \(m\) để góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\], \[\left( Q \right)\] bằng \(60^\circ \). Khi đó \({m_1} + {m_2} = - 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập