Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình:\(ax + by + cz - 1 = 0\) với \(c < 0\) đi qua \[2\] điểm \(A\left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( {Oyz} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính tổng \(S = a + b + c\)?
A. \[1 + \sqrt 2 \].
B. \[1 - \sqrt 2 \].
C. \[2 + \sqrt 2 \].
D. \[2 - \sqrt 2 \].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\). Mặt \(\left( {Oyz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc tọa bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) suy ra \(\alpha = 60^\circ \).
Ta có: \[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 2\left| a \right|\] (*).
Thay \(a = b = 1\) vào phương trình (*) ta được: \(\sqrt {2 + {c^2}} = 2 \Rightarrow c = - \sqrt 2 \).
Khi đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
![Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid14-1770298834.png)
a) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,0;\, - 1} \right)\).
Đúng
Sai
b) Với \(x = 3\) thì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Đúng
Sai
c) Với \(x = 2\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).
Đúng
Sai
d) Với \(x = 4\) thì góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là lớn nhất.
Đúng
Sai
Lời giải
a) Sai.
Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C1 (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).
\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).
Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}} = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).
Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).
c) Sai.
Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C} = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).
Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).
Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Sai
Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).
Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).
Không tồn tại \(x\)để góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) lớn nhất.Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, ta có mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên có phương trình \(z = 0\), suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Ta có \(A\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(C\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right)\),\(D'\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AC} = \left( {a\,;\,a\,;\,0} \right)\),\(\overrightarrow {AD'} = \left( {a\,;\,0\,;\, - a} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\),\(\overrightarrow v = \left( {1;0; - 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
Ta có \[\cos \varphi = = \left| {\frac{{1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] .Câu 3
a) Với \(m = 1\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(30^\circ \).
Đúng
Sai
b) Điểm \(H\left( {2;\,2;\,1} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( R \right)\), côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).
Đúng
Sai
c) \({m_1},\,{m_2}\) là hai giá trị của \(m\) để góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\], \[\left( Q \right)\] bằng \(60^\circ \). Khi đó \({m_1} + {m_2} = - 1\).
Đúng
Sai
d) Với \(m = 1\) thì hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] tạo với nhau một góc nhỏ nhất.
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \({30^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{30}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập