Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 1

Hai mặt phẳng \[\left( P \right),\,\left( Q \right)\] có các véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;\,1;\,1} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\].

Ta có mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {0;1;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - 10z + 2025 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {1;1; - 10} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng thì \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {102} }}\).

Trục \[Oz\] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow j  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\]; đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\];

Ta có: \[\cos \left( {\Delta ,\,Oz} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 1.0 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\].

Nên \[\left( {\Delta ,\,Oz} \right) \approx 48^\circ \].

Hai mặt phẳng \[\left( P \right),\,\left( Q \right)\] có các véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;\,1;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{14}}\].

Nên \[\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 22^\circ \].

Ta có đường \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + 2t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;2} \right)\), đường \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2m\\y = 2 - 2m\\z = 3 + m\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\). Ta có \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow u }_2}} \right|}} = \frac{4}{9}\).

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\]; Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 - 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\].

Nên \[\left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) \approx 19^\circ \].

Ta có đường \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;1} \right)\), đường \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;2} \right)\). Ta có \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow u }_2}} \right|}} = \frac{5}{6}\).