Trong không gian \[Oxyz\], cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\] bằng

Ta có mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {0;1;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - 10z + 2025 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {1;1; - 10} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng thì \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {102} }}\).

Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).