Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\)và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua điểm \[A\left( { - 1;0; - 1} \right)\] cắt đường thẳng \(\Delta \) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {a;b;1} \right)\). Tính tổng \(a + 2b\)?

Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)\)

Lại có, \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)\).

Từ đó, góc có \(\alpha \) giữa mái nhà bên phải và nền nhà có \(\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).