Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\)và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua điểm \[A\left( { - 1;0; - 1} \right)\] cắt đường thẳng \(\Delta \) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {a;b;1} \right)\). Tính tổng \(a + 2b\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử đường thẳng \[d\] cắt đường thẳng \(\Delta \) tại \[B\], ta có: \[B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in \Delta \].
Đường thẳng \[d\] có véctơ chỉ phương là: \[\overrightarrow {AB} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\], mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2;2} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \[d\] và \(\left( P \right)\), ta có: \(\sin \varphi = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\)
\[ \Rightarrow d\] tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc \(\varphi \) nhỏ nhất khi \(\varphi = 0^\circ \) hay \[\sin \varphi = 0 \Rightarrow t = 0\].
Khi đó đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( { - 1;0; - 1} \right)\] và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 2; - 2;1} \right)\]
Vậy \(a = - 2,b = - 2, \Rightarrow a + 2b = - 6\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)\)
Lại có, \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)\).
Từ đó, góc có \(\alpha \) giữa mái nhà bên phải và nền nhà có \(\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Suy ra \(\alpha \approx 27^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).
Ta có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \).
Vây góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\) là \(45^\circ \).Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) \(\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \);
b) \(M\left( {0;3; - 2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \);
c) Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập