Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\)và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua điểm \[A\left( { - 1;0; - 1} \right)\] cắt đường thẳng \(\Delta \) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {a;b;1} \right)\). Tính tổng \(a + 2b\)?

Trong hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - 10z + 2025 = 0\). Khi đó \(cos\varphi \) là:

Trong hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + 2t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2m\\y = 2 - 2m\\z = 3 + m\end{array} \right.\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng. Tính \[{\rm{cos}}\varphi \]?

Trong hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng. Tính \[{\rm{cos}}\varphi \]?

Trong không gian \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\] bằng (kết quả làm tròn đến độ)

Trong không gian \[Oxyz\], góc giữa trục \[Oz\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\] bằng (kết quả làm tròn đến độ)

Trong hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng chứa  \(Ox\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + 12 = 0\). Khi đó \(\varphi \) bằng: