Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho  điểm \(H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\). Điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\), số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y - 11 = 0\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)\)

Lại có, \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)\).

Từ đó, góc có \(\alpha \) giữa mái nhà bên phải và nền nhà có \(\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Chọn  hệ trục toạ độ Đề các vuông góc \(Oxyz\)như sau :  \(O \equiv A(0;0;0)\); \[A'(0;0;a)\]

\(B(a;0;0)\); \[B'(a;0;a)\]; \(C(a;a;0)\); \[C'(a;a;a)\]; \(D(0;a;0)\); \[D'(0;a;a)\].

Ta có \[\left( {AB'D'} \right)//\left( {C'BD} \right)\]

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[(C'BD)\]là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = ( - {a^2}; - {a^2};{a^2})\] hay \[\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1; - 1)\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(C'BD)\]là   \[x + y - z - a = 0\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(AB'D')\] là \[x + y - z = 0\].

 \[ \Rightarrow d\left( {(AB'D'),(C'BD)} \right) = d\left( {B,(AB'D')} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].