Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \[A\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[B\left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[D\left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\], \[D'\left( {0;\,\,3;\,\, - 3} \right)\] như hình vẽ:

a) Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {3;0;0} \right);\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_c};{y_c} - 3;{z_c}} \right)\]. Mà \[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} - 3 = 0 \Leftrightarrow \\{z_C} = 0\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 3\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;3;0} \right)\]

b) \[\overrightarrow {DD'}  = \left( {0;0; - 3} \right);\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_{A'}};{y_{A'}};{z_{A'}}} \right)\]. Mà ta lại có \[\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {A'C}  = \left( {3;3;3} \right)\] nên chọn \[{\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)\]. Phương trình đường thẳng \[A'C\]đi qua \[A'\left( {0;0; - 3} \right)\] và có \[{\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)\] là : \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\]

c) \[\left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)\]. Chọn \[{\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\]. Nên phương trình mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] đi qua điểm \[A'\left( {0;0; - 3} \right)\] và  có \[{\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\]là: \[x + y - z - 3 = 0\]

\[\sin \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{A'C}};{{\overrightarrow n }_{(A'BD)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}\]

Nên \[\cos \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right)}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].

d) Ta có \[\overrightarrow {DC'}  = \left( {3;0; - 3} \right);\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;3; - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DC'} ;\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {9;9;9} \right)\].