6 bài tập Một số bài toán tối ưu đơn giản (có lời giải)

Đặt \(A'M = x\,\,\left( {0 < x < 2200} \right)\), \(B'M = 2200 - x\)

Ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \,,\,\,BM = \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là:

\(AM + BM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \) trên khoảng \(\left( {0;\,2200} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} - \frac{{2200 - x}}{{\sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\)

Gọi đường chéo hình chữ nhật là \(a\). Ta có: \[R + r = \frac{a}{{1 + \sqrt 2 }}\].

Tìm max của \[{R^2} + {r^2}\]. Khảo sát hàm, ta tìm được \[R = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\] Từ đó ta tìm được \(\sqrt k  = \sqrt 2  - 1\).

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {0 < x < 60} \right)\) là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra \(60 - x\) là độ dài đoạn thứ nhất.

Khi đó cạnh hình vuông là \(15 - \frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \({\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Chu vi của vòng tròn là \(2\pi R = x \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\). Khi đó diện tích hình tròn là \(\pi {R^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\).

Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Khi đó ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\left( {15 - \frac{x}{4}} \right) = \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{15}}{2}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{15}}{{\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}}}\). Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\).

Khi đó cạnh hình vuông sẽ là \(60 - \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }} \approx 33,61\).