Có hai xã \(A,\,B\) cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 550\)m, \(BB' = 600\)m. Người ta đo được \(A'B' = 2200\)m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\)

Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \)

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\)