Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài \(a\)(m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân \(ABCD\) như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng \(CD\) không phải rào lưới. Hỏi bác nông dân đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Gọi đường chéo hình chữ nhật là \(a\). Ta có: \[R + r = \frac{a}{{1 + \sqrt 2 }}\].

Tìm max của \[{R^2} + {r^2}\]. Khảo sát hàm, ta tìm được \[R = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\] Từ đó ta tìm được \(\sqrt k  = \sqrt 2  - 1\).

Ta có \(2\left( {h + r} \right) + \pi r = 4\) \( \Rightarrow h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}\).

Diện tích của khung cửa là \(S = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2rh\) \( = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2r\left( {\frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}} \right)\) \( =  - \frac{{\pi  + 4}}{2}.{r^2} + 4r\).

Ta có \(h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < r < \frac{4}{{\pi  + 2}}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right) =  - \frac{{\pi  + 4}}{2}.{r^2} + 4r\) trên \(\left( {0;\frac{4}{{\pi  + 2}}} \right)\) có \(S'\left( r \right) =  - \left( {\pi  + 4} \right)r + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi  + 4}}\)

Bảng biến thiên

Vậy \(S\left( r \right)\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi  + 4}}\).