Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài \(4\,\)m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi \(r\) là bán kính của nửa đường tròn. Tìm \(r\) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\)

Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \)

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\)