Từ một mảnh giấy hình vuông cho trước cắt thành hai hình tròn sao cho tổng diện tích của hai hình tròn là lớn nhất. Gọi \[k\,\,\left( {k \le 1} \right)\] là tỉ số bán kính của chúng khi đó. Hỏi giá trị \[\sqrt k \] bằng bao nhiêu?

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\)

Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \)

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\)