Một sợi dây kim loại dài \(60{\rm{cm}}\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {0 < x < 60} \right)\) là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra \(60 - x\) là độ dài đoạn thứ nhất.

Khi đó cạnh hình vuông là \(15 - \frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \({\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Chu vi của vòng tròn là \(2\pi R = x \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\). Khi đó diện tích hình tròn là \(\pi {R^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\).

Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Khi đó ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\left( {15 - \frac{x}{4}} \right) = \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{15}}{2}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{15}}{{\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}}}\). Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\).

Khi đó cạnh hình vuông sẽ là \(60 - \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }} \approx 33,61\).