23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

68 người thi tuần này 4.6 318 lượt thi 23 câu hỏi 45 phút

Câu 1/23

Tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến các mặt phẳng sau:

a) $(P):x + y + z + 12 = 0$; b) $(Q):4x + 3y + 10 = 0$.

Lời giải

a) $d(M,(P)) = \frac{{|1.1 + 1.2 + 1.3 + 12|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 $;

b) $d(M,(Q)) = \frac{{|4.1 + 3.2 + 0.3 + 10|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Câu 2/23

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Lời giải

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

Câu 3/23

Tính khoàng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ cho bởi các phương trình sau đây: $(P):2x + y + 2z + 9 = 0{\rm{; }}$$(Q):$2 x+y+2 z+99=0.

Lời giải

Ta lấy điểm $M(0; - 9;0)$ thuộc $(P)$. Do hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song nên khoảng cách giữa chúng là: $d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = \frac{{|2 \cdot 0 + 1 \cdot ( - 9) + 2 \cdot 0 + 99|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{90}}{3} = 30.$

Câu 4/23

a) Tính chiều cao của hình chóp O.MNP với toạ độ các đình là $O(0;0;0),M(2;1;2)$, $N(3;3;3),P(4;5;6)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(R):8x + 6y + 70 = 0$ và (S): $16x + 12y - 2 = 0$.

Lời giải

a) Mặt phẳng $(MNP)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN} = (1;2;1)$ và $\overrightarrow {MP} = (2;4;4)$ nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2; - 1;0)$.

Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ là $2(x - 2) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$.

Chiều cao của hình chóp O.MNP là: $d(O,(MNP)) = \frac{{|2.0 - 0 - 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}.$

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(R)$ và $(S)$ là khoảng cách từ điểm $M\left( {0;\frac{1}{6};0} \right)$ thuộc $(S)$ đến mặt phẳng $(R)$ : $d((R),(S)) = d(M,(R)) = \frac{{\left| {8 \cdot 0 + 6 \cdot \frac{1}{6} + 70} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \frac{{71}}{{10}} = 7,1.$

Câu 5/23

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $, chiều cao bằng 2a và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Lời giải

Dựa vào hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có $O(0;0;0),S(0;0;2a)$, $A( - a;0;0),B(0;a;0)$ và $C(a;0;0)$.

Khi đó $(SAB)$ có phương trình là $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1$ hay $ - 2x + 2y + z - 2a = 0$.

Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{{| - 2 \cdot a - 2a|}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4a}}{3}$.

Câu 6/23

Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm $M(1; - 2;13)$ đến mặt phẳng $(P):2x - 2y - z + 3 = 0$.

Lời giải

Ta có $d(O,(P)) = \frac{{|3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 1$ và $d(M,(P)) = \frac{{|2 \cdot 1 - 2 \cdot ( - 2) - 13 + 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{4}{3}$.

Câu 7/23

Cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + 6z - 7 = 0$ và điểm $M(5;2; - 3)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là: $d(M,(P)) = \frac{{|2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot ( - 3) - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {6^2}} }} = 3.$

Câu 8/23

Tính khoàng cách giữa hai mă̆t phẳng song song $(P):x - 2 = 0$ và $(Q):x - 8 = 0$.

Lời giải

Ta thấy hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song nên ta lấy điểm $M(2;0;0)$ thuộc $(P)$. Kí hiệu $d(P),(Q))$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có: $d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = \frac{{|2 - 8|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 6.$

Câu 9/23