Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến các mặt phẳng \(x - a = 0\), \(y - b = 0,z - c = 0\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (1;2;3),\overrightarrow {AC}  = (4;1;2)\), suy ra \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)\).

Phương trình của \((ABC)\) là: \(1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0\) hay \(x + 10y - 7z - 4 = 0\).

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm \(S\) đến \((ABC)\).

Ta có: \(SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;3; - 1),\overrightarrow {{n_Q}}  = (1; - 1; - 2)\) vì \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 1 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0\)

Do đó hai mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(({\rm{Q}})\) vuông góc với nhau.

\(\begin{array}{l}{\rm{ b) Do M}} \in {\rm{Ox nên M}} ({\rm{a}};0;0){\rm{.  Do d}}({\rm{M}},({\rm{P}})) = {\rm{d}}({\rm{M}},({\rm{Q}})) {\rm{ nên }} \frac{{|a|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{|a + 1|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 |a| = \sqrt {11} |a + 1|\\ \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}{\rm{ hay }}a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array}\)Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu là: \({M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\)