Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm $A(0;0;0),B(a;0;0)$, $D(0;b;0),S(0;0;c)$ với a, b, c là các số dương (Hinh vẽ ).

a) Tìm toạ độ của điểm $C$, trung điểm $M$ của BC, trọng tâm $G$ của tam giác SCD.

b) Lâp phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (a;0;0)$ và $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} $, suy ra $\overrightarrow {DC} = (a;0;0)$. Mà $D(0;b;0)$ nên $C(a;b;0)$.

Vì $B(a;0;0),C(a;b;0)$ nên trung điểm $M$ của BC có toạ độ là $\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)$. Vì $S(0;0;c),C(a;b;0),D(0;b;0)$ nên trọng tâm $G$ của tam giác SCD có toạ độ là $\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng $(SBD)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

c) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là: $\frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.$

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

Câu 2

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a$ và $SA \bot (ABCD)$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a và SA thuộc (ABCD)\) (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Theo Hình 19 , ta có $A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)$ và $C(2a;5a;0)$.

Ta có $\overrightarrow {SB} = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC} = (2a;5a; - 3a)$, suy ra $[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;0;2)$.

Vậy mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là: $3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.$

Khi đó $d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a$.

Câu 3