Cho hình chóp S.ABC thoả mãn $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 90^{°}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}{\rm{. }}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $SA = a,SB = b,SC = c(a,b,c > 0)$. Vì các đường thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn $S(0;0;0),A(a;0;0)$, $B(0;b;0),C(0;0;c)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là: $SH = \frac{{\left| {\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }}.$

Suy ra $\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

Câu 2

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a$ và $SA \bot (ABCD)$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a và SA thuộc (ABCD)\) (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Theo Hình 19 , ta có $A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)$ và $C(2a;5a;0)$.

Ta có $\overrightarrow {SB} = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC} = (2a;5a; - 3a)$, suy ra $[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;0;2)$.

Vậy mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là: $3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.$

Khi đó $d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a$.

Câu 3